앞에 답변 다신 분이 잘 설명해 주셨는데요. 제가 아는 선에서 조금 보충해 설명을 드리면 다음과 같습니다.

1) 둘은 서로 대칭적인 단어로 원칙적으로 some은 긍정문 any는 부정문이나 의문문에 쓰이는 것으로 이해하시면 될 것 같구요. 원칙을 벗어나는 예외는 은주리님의 글에 설명이 되어 있습니다. 이때는 any 다음에 가산명사는 복수형을 쓰는 게 일반적입니다. 이 부분은 은주리 님께서 약간 착오가 있었던 것 같습니다.

한편 any가 긍정문에 사용될 수도 있는데 이것은 위의 것과는 다른 용법으로 쓰이는 것으로 이때는 any 다음에 단수가 와야합니다. "모든" 혹은 "어떤 ~라도"의 의미를 가지게 되구요. 가령 Any person can do it.(어떤 사람이라도 그걸 할 수 있다.)와 같이 쓰일 수 있습니다.

4) What 이 있는 의문문일 경우에는 What이 보통 목적어로 쓰이게 됩니다. 의문문에서는 의문사가 문장 맨 앞으로 가야 하고, 원래 목적어인 what이 맨 앞으로 도치되면서 동사와 주어가 서로 위치가 바뀌게 되는데 이때, like와 같은 일반동사가 있는 문장은 조동사 do를 앞으로 대신 내보냅니다. 이 때 인칭이나 시제는 do가 표시하고 일반동사는 조동사 다음에 위치하는 꼴이므로 원형이 됩니다.

만약 의문사가 맨앞으로 갈 필요가 없다면 "그는 무엇을 좋아하니?" 하는 문장은 이렇게 써야겠죠.

He likes what?

하지만 문법에 맞으려면 의문사가 맨 앞으로 가야 하고, 주어 동사의 위치를 바꾸어야 하는데 likes가 아닌 does를 내보내면

What does he like?  가 되는 거죠.

who의 의문문에서는 who가 보통 주격으로 쓰입니다. 가령 누가 나를 좋아하지? 라는 문장은

Who likes me? 가 될텐데요. 의문사가 맨 앞으로 갈 필요가 없다고 할지라도 who가 주어이므로 원래 문장 맨앞에 쓰입니다. 의문사 who를 문장 맨 앞으로 내보낼려고 보니가 이미 문장 맨 앞에 있으므로 그냥 이대로 끝입니다. 앞에서와 같이 do가 들어오거나 도치할 필요가 없습니다.

1) 쉽게 표현하자면 some과 any 모두 좀, 약간의 의미가 있지만 some은 긍정의 의미가 강하고 any는 부정의 의미가 좀 강한 편입니다. 문법서에는 의문문과 부정문에만 any가 사용된다고 되어 있지만 siome도 의문문에 사용되는 경우가 많습니다.
any 다음에는 단수가 오구요. some 다음에는 복수가 옵니다.

any - an(하나) + y 즉 없다고 미리 예상하고 있는 상황에서 없는데서 생기는 어느 하나...
                            ex) Is ther any volunteer?
                                 문법적으로는 평서형이지만 (지원자 있습니까?) 
                                 의미로는 여기 지원자가 하나도 없을까요? 에 가깝지요.
                                 즉 지원자가 없을지도 모른다고 상황을 가정하고 물어보는 말이 됩니다.

some - sum(합) + one - 어딘가 무엇이 있을 지도 모른다고 생각하고 있는 상황에서의 좀...
                            ex) Do you have some money? 너 돈 좀 있지?

2) doesn't have - does 자체가 3인칭을 나타내고 있기 때문에 조동사(do, can, must, will, should 등) 뒤에는 동사 원형이 나오기 때문에 have가 사용됩니다.

- She has a dog.
- Does she have a dog?
- She doesn't have a dog.

3) doesn't like -  2번과 같은 맥락입니다.

4) what이 의문문의 주어가 아니라 목적어로 사용될 때 의문문에는 
     조동사가 나와 있으면 조동사가 인칭을 나타내니 동사원형인 like를 쓰지만

    who가 주어인 의문문에는 주어 자체가 1인칭이나 복수형이 아닌 who 이기 때문에 동사는 3인칭이
     됩니다.
ex) What does she like? 그녀가 무엇을 좋아하니? (주어는 she 목적어는 what 조동사는 does)
     Who likes apples? 누가 사과를 좋아하지? (주어는 who, 동사는 likes)