27번 미카엘, 초5

미카엘과 함께 5살 동생과 함께 수업을 해보았습니다.

5살 동생에게는 저학년 지침서를 위주로 하고 미카엘은 고학년 지침서를 가지고 했는데

부수적인 동생이 더 주도권을 잡으려해서 힘들었습니다.

미카엘에게 두 선이 수평한 것을 증명해 보라고 퀴즈를 냈는데

저학년 수준으로 답을 해서 좀 엄마는 실망..

분명 엇각과 동위각을 알고 있는데...

아이들보다는 엄마가 더 공부하는 것 같습니다.

10번 / 제니 / 초6

마리스텔라님이 올려주신 방대한 자료와 티칭가이드를 보고 어떻게 적용시켜야 하나 고민이 많이 됐지만,

일단 저와 아이가 소화할 수 있는 수준에서 부담갖지 않고 진행하였습니다.

1. 들어가기

- 착시와 관련된 동영상과 인터넷 자료를 통해 착시와 관련된 수학적 개념을 알아보았습니다.

- 착시와 관련된 도서를 읽고 착시의 종류와 착시가 응용되는 여러 분야를 살펴보았습니다.

2. 탐구하기(에임즈 룸 만들기)

완성된 에임즈 룸입니다.

구멍안을 들여다 보았더니 분명히 같은 크기의 아이 모형이었는데 오른쪽이 훨씬 커보입니다!

어떤 원인으로 이와 같은 현상이 발생했는지 알아보기로 했습니다.

먼저 바닥의 격자무늬가 어떤 영향을 미치는지 궁금해서 격자무늬를 가려보았습니다.

격자무늬를 완전히 가리기 위해서 두꺼운 종이에 내부와 비슷한 색깔의 노란 색종를 붙였습니다.

격자무늬가 전혀 보이지 않죠?

격자무늬를 완전히 가려도 여전히 오른쪽 아이 모형이 더 커보입니다.

이번에는 뒷 배경도 가려보기로 했습니다.

배경을 흰색 종이로 완전히 가렸는데도 여전히 오른쪽 모형이 더 커보입니다.

비스듬한 모양의 바닥과 벽의 문양이 착시의 원인은 아닌 것 같습니다.

에임즈 룸의 앞 뒷면은 평행이 아닌게 육안으로 구별되지만 옆면은 평행인지 궁금했습니다.

그래서 옆면을 흰 종이위에 대고 선을 그어보았습니다.

나란히 그은 선에 수직인 두 선분을 긋고 길이를 재보았더니 같은 길이였습니다.

따라서 에임즈 룸의 옆면은 평행임을 알 수 있습니다.

마침 집에 각도계가 없어서 직접 확인은 할 수 없었지만, 미리 본 영상물을 통해 평행선에 한 직선을 그었을 때 동위각과 엇각의 크기가 같음을 이야기 나누었습니다. 

에임즈 룸이 마주보는 면이 평행인 것과 평행이 아닌 것으로 이루어진 것을 확인한 후,

제니가 각 면에 구명을 뚫어 크기가 같은 아이의 모형이 어떻게 보이는지 궁금해 하였습니다.

그래서 에임즈 룸 여기저기에 구멍을 뚫어서 관찰해 보기로 하였습니다. 

먼저 에임즈 룸에 고안된 구멍은 오른쪽인데 왼쪽에서 보는 모양이 어떤지 궁금했습니다.

(왼쪽에 난 구멍 보이시죠?)

왼쪽 구멍으로 바라보았을 때에도 오른쪽 모형이 크기가 더 컸습니다.

이번에는 마주보는 면이 평행한 벽면에 구멍을 뚫었습니다.(길이가 긴 쪽)

두 아이의 크기가 같습니다.

이번에는 마주보는 길이가 짧은 벽면에 구멍을 뚫어서 관찰하였습니다.

이번에도 두 모형의 크기에는 차이가 없어 보입니다.

원래 에임즈 룸 모형의 엿보기 구멍에 반대편에 구멍을 뚫어서 관찰하여 보았습니다.

앞 면에서 관찰한 것만큼 커다란 차이는 아니지만 이번에는 왼쪽 모형이 더 커보입니다.

관찰하는 구명에서 가까이 있는 모형이 더 커보이는 것을 알 수 있었습니다.

따라서 에임즈 룸은 크기가 같은 두 물체가 가까이 있는 것은 더 커보이고 멀리 있는 것은 작아 보이는 원근착시를 이용한 것임을 알 수 있었습니다.

3. 정리하기

실험을 끝내고 마리스텔라님이 올려주신 자료를 통해 다시 한번 여러 착시에 대해 정리하여 보았습니다.

<크기가 달라보여요>에 제시된 밀러 라이어의 화살표 방향에 따른 선분 길이의 착시,에빙 하우스의 주변에 그려진 동그라미에 따른 크기의 착시, <기울어져 보여요>의 체르너와 헤링의 착시는 주변의 선과 면의 배경에 의해 원래 크기가 달라 보이는 기하학적 착시로 분류됨을 알았습니다.

<에임즈 룸>은 원근법에 의해 크기가 달라 보이는 착시(가까이 있는 것이 크게 보임)인데,

반면에 <복도착시>는 원근법을 무시한 소실점에 가까울수록 커 보이는 폰조 착시임을 알게 되었습니다.

교재의 신작로 사진에 맨 앞 사람의 길이를 재어서 가장 뒷면에 같은 길이의 선분을 그어보니 엄청나게 거대한 거인으로 보였습니다.

결론적으로 착시란 점, 선, 면 등이 홀로 뇌의 혼란을 일으킬 수 없고, 주변 환경에 의해 영향을 받아 뇌가 착각을 일으킨다는 것을 알 수 있었습니다.

아이와 같이 실험하면서 저는 에임즈 룸이 원근법에 의한 착시이기도 하지만 뒷면의 배경이 오른쪽으로 갈 수록 폭이 좁아져 가상으로 선을 그으면 오른쪽에 소실점이 생기므로,

앞 뒷면을 평행하게 하고 높낮이만 다르게 해도 폰조착시에 의해서 오른쪽이 더 커보일 수도 있지 않을까 하는 의문을 제기했고 제니도 그럴 수도 있지 않을까? 하는 의문을 남겼습니다.

앞으로 기회가 되면 천장의 높이가 낮아지는, 4개의 벽면이 서로 마주보고 있는 면은 평행한 방을 만들어서 실험해 볼까 합니다.

제니는 실험을 끝내며 가장 궁금한 점이 에임즈라는 사람은 왜 이런 방을 만들었을까? 입니다.

글쎄요~ 왜 그랬을까요? ㅎㅎ

착시효과에 대한 학문적인 호기심으로 이러한 장치를 고안해 낸 것이 잘 납득되지 않는가 봅니다.

상실냥님께서 해석해 주신 자료를 보니 에임즈가 '반중력' 착시 효과에 대해 관심을 가지고 다른 독착정인 디자인을 많이 만들어 냈다고 하니, 그런 호기심의 일환으로 만든건 아닐까? 하고 이야기 나누었습니다.

이런 에임즈룸과 같은 착시효과를 실생활에 접목해 본다면 어떤 것을 해볼 수 있을까? 라는 질문에,

키 작은 친구에게 에임즈 룸을 만들어서 키 크다고 소문난 친구들과 사진을 찍으라고 권해주고 싶답니다.

물론 키 작은 친구는 오른쪽에 서야겠죠?

활동을 통해 아주 뛰어난 창의력을 발휘해 놀라운 결과물을 만들어 낸 건 아니지만 교재에 충실하게 활동했습니다.

제니가 너무 재미있다고 앞으로의 수업도 기대한다고 해서 보람을 느꼈습니다.

이런 기회를 가지기 전에는 창의 수학과 교과 수학은 완전히 다르고, 어느 경지에 이르지 않으면 별 도움이 되지 않는다고 까지 생각했었는데, 저의 이런 생각이 많이 바뀌게 되었습니다.

학교 수업시간에도 이러한 방법으로 접근하여 수업을 한다면 수학은 놀랍도록 신비하고 재미있는 과목이 될텐데 말이죠~

다시 한번 좋은 기회를 마련해 주신 마리스텔라님에게 감사드립니다. ^^

14번(저학년에 명단이 있는데~고학년입니다.)

완 전 신 기~

탐구활동

탐구활동이라기는 좀 그렇고...탐구와 정리의 중간 단계~진행해 보았습니다.

우선~처음에 던졌던 질문을 다시 해보았는데요~

엄마 : "이러한 착시는 왜 생기는 걸까?"

가을 : "주변 환경 때문인 것 같아요."

엄마 : "그럼~이것이 착시란 것은 어떻게 증명할까?"

가을 : "주변에 있는 착시를 일으킬 환경을 없애면 돼요~"

잘했어~

엄마 : "그럼~가을이는 이 착시를 어떤 곳에 쓰고 싶니?"

가을 : "좁은 방을 넓어보이게 하고, 뚱뚱한 사람을 날씬하게 보이게 해줄래요."

(흑흑~착한 딸~뚱뚱하고 가난한 엄마에게 옷하고 집을 줄 모양입니다.ㅠㅠ)

감동을 잠시 뒤로 미루어두고~

착시란 것을 증명하기 위한 방법으로

4학년때 배웠던 평행선과 엇각에 대한 내용을 상기시켜보았습니다.(주신 자료에 있네요~)

수학이 이런 곳에 쓰인다는 것이 신기한 엄마와 딸~

너무나 즐거운 시간이었습니다.

착시의 원리는 여러가지가 있으나~어려운 말은 빼고~

길이의 착시, 크기의 착시, 면적의 착시, 방향의 착시,

명도에 의한 착시(바탕과 도형의 착시), 대비의 착시 등으로 정리 요약해 보았습니다.

그리고 마지막으로~A4용지에, 이런 환경을 그려보았습니다.

가을이가 직접 그리고, 집에 있는 물건을 이용한 것이라~

만들어진 키트나 동영상보다 훨씬~현실감이 있었습니다.

같은 크기의 볼펜이~이렇게 달라보이네요.

정말 같은 사이즈로 변하는지~볼펜을 굴려보았습니다.

정리하기

착시...재미있고 신기하다고만 생각하고 끝났을 것이~

논리적 사고와 상상력~으로 이어질 수 있었던 소중한 시간이었습니다.

즐거운 수학 시간 만들기도~대 성공이었습니다.

가을이는 벌써 다음 수업을 펴보고~교구를 이리 살피고 저리 살피고~있답니다.

이런 시간이 가능하도록 이끌어주신 마리스텔라님께 감사드리며~

자료 번역해주시고, 정리해주신 님들께도 감사드립니다.

정말 부족하고 어리버리하지만, 미리 주신 자료를 참고해  교재 중심으로 진행했습니다.

수학을 이런 활동으로 해보지 않아서 아이는 이것도 수학이야? 하며 재밌게 활동하고 만들어보았어요.

아이와 제가 느낀건 수학적 개념들이 생활 곳곳에 숨어 있다는것, 눈에 보이는것이 전부가 아니다..라는것을

서로 나눴네요. 마술사들이 하는것도 착시냐고 묻는데 그런가요?

 동영상 자료가 재밌었네요~~마무리는 ebs강의로...다 보진 못했엉용ㅜㅜ

최근사진은 아니지만, 에임즈룸에서 찍은 사진임다.

 마리스텔라님 감사하고, 수학방위해 수고하시는 분들께도 감사해요~~~ 45번 앤지 초5

8번 / 드래곤 /11세

저도 이런 수학이 익숙치 않아 어찌 접근해야 할지 엄두가 나지 않았습니다.

올려주신 자료를 봐도 확실한 감이 잘 안 잡혔어요. ^^::: 어찌 접근해야 할지...

그래서 올려주신 자료 아이랑 같이 보고 교재 순서대로 해 보았네요.

근데, 아이도 저도 헤매는 느낌이였습니다 ^^;; 민숭맹숭....

올려주신 분들 보니 부끄럽습니다.

진행글 참고 삼아 다시 한번 접근해 봐야겠네요. 훌륭한 소스 주시는데 잘 못 쫓아가는 것 같아 죄송스럽고 부끄럽습니다.  좀 더 헤매고 노력하여 감도 찾고 잘 해보도록 하겠습니다.^^::

착시현상에는 6개 정도로 분류할 수 있다

1. 길이 착시

2. 크기의 착시

3. 면적 착시

4. 방향의 착시

5. 명도에 의한 착시

6. 대비의 착시

소실점 - 가까이 있는 물체는 크게, 멀리 있는 물체는 작게 보인다.

이러한 물체에 연장선을 그어 보면 그 선은 지평선의 어느 한 점에서 만나게 되는데 이 점을 소실점이라고 한다.

1 소실점, 2 소실점

소실점이 뭔지 몰라 찾아 봤어요

한가지 질문있습니다.

2주차 성냥개비 연산의 자료들은 저희가 직접찾아서 알아서 다음주에 대문 열면 진행기 올리는건가요?

아니면 1주차 처럼 정성스런 자료들을  올려 주시는건가요?

제 능력으론 이런 자료들 정말 찾아할 자신이 없어서요.

그리고 올려주신다면 그건 언제인가요.

저는 BB처럼 과제나 자료 올려  주시면서 그 밑에 지난번 과제 진행기 올리는걸로 생각했는데

참고 자료 없으니 막막해서요?

63 / 엘리스/ 11

슈필 마테 오는 날 부터 너무 너무 하고 싶다고 몇일을 징징거렸어요

딸아이가 ^^*~

수학은 별로 안좋아하면서 슈필마테는 넘넘 하고 싶었나 보더라구요

그래서 주말에 하루, 월요일에 하루 이틀에 나누어 해봤습니다.

우선 첫표지에 나온 에임즈룸의 사각형이 어떻게 보이는지 이야기 해보았어요

엄마: 지금 여기 보이는 사각형이 어떻게 보이니?

딸: 점점 사각형이 줄어드는것 처럼 보여요?

엄마: 그럼 정말 사각형이 한쪽은 넓고 한쪽은 좁은 모양일까?

딸 : 아니요. 착시현상같아요. 직사각형인데 그렇게 보이는것 같아요.

그래서 위의 투명지에 사각형을 본뜨고 자로 길이를 재어 보았어요

딸: 가로의 길이가 같고, 세로의 길이가 같아요.

엄마:그래 헌데 직사각형이 왜 한쪽이 좁아보일까?

딸: 직사각형 뒤의 직선들이 한쪽은 좁아서 직사각형이 넓어보이고, 한쪽은 넓어서 직사각형의 점점 좁아보이는 착시 같아요.

엄마 : 그렇구나!

그리고 다음 페이지 크기가 달라 보이는 착시에 대해 문제를 풀어보았습니다.

주변의 바뀌는 요소에 따라 같은 크기의 모양들이 크게도 보이고, 작게도 보이는 착시

그리고 p6,7의 기울어져 보이는 착시에 대해 풀어보았어요

엄마: 페르너의 작품을 볼까

         여기 가로로 있는 굵은 선이 어떻게 보이니?

         반듯해 보이니?

딸: 아니요 서로 좁아졌다 넓어 졌다 해요

엄마: 그래 그럼 정말로 그렇게 선이 좁아졌다 넓어졌다하며 기울어져 있을까?

딸 : 아니요 이것도 착시 현상인것 같아요.

그래서 선을 투명지에 본뜨고 서로 같의 간격을 자로 재어 봤어요

그랬더니 같은 결과

그리고 사선을 그려 착시현상을 일으키게 그리고 싶었으나 생각처럼 잘 되지는 않더라구요

엄마: 여기 해링의 작품에 있는 두 직선은 어떻게 보이니?

딸: 직선의 양쪽이 볼록하게 튀어나와 보여요

엄마: 정말 튀어나온걸까?

딸 : 이것도 착시현상이라 서로 평행한 직선 같아요.

엄마:그럼 평행하다는건 뭘까?

딸: 두 직선이 서로 만나지 않는거요?

엄마:그래 그것 말고도 평행하기 위한 조건이 또 있단다.

        아직 배우지는 않았지만 ...

        두 직선이 평행하려면 직선 사이의 거리가 같아야 하고,

         직선 사이에 다른 선을 그었을때 동위각이 같단다

         그럼 정말 평행인지 알아볼까

딸: 네

직접 투명지에 직선을 본뜨고  수직인 선분을 몇개 그려서 길이를 재어보았다

길이는 전부 같게 나왔고

동위각은 직접 책위에서 찾았는데 같은 크기로 나왔다

(동위각과 엇각, 수선은 4-2에서 나오므로 개념만 설명해주고, 길이와 각의 크기만 재어보고, 참고 자료를 보며 서로 이야기 해보고 넘어갔다)

에임즈룸을 만들고 나서 인형의 크기를 서로 비교해 보았다

헌데 인형이 착시를 주지는 못했어요

아무리 봐도 오른쪽이 커보이고 왼쪽이 작아 보이던데 무얼 잘못 만든건지 요건 잘 안되더라구요

마지막 장의 복도 착시를 살펴보았다 

복도 착시에서는 같은크기의 사람을 직접 만들어 붙여보았는데

정말 성공적인 착시 였습니다.

주위의 배경에 따라 같은 크기임에도 그렇지 않은것처럼 보이더라구요.

저희는 이틀에 걸쳐 이렇게 살펴본 다음에

동영상을 보여 주었습니다.

아이들이 재미있어했습니다.

그리고 착시는 재미있답니다.

올려주신 자료에 비해 너무 성의 없는 수업을 한것 같아 많이 아쉽네요.

32/ 데릭/ 초4

이사하기전 교재를 사놓고 지난주 수요일에 이사하고

일요일에 같이 했어요..

택배가 뭔지 궁금해 하길래 수학책이라 했더니 달가와하지 않는 것 같더니

꺼내서 보여 주니 정말 좋아했어요..

수업전 교육방송에 들어가서 자료를 보여주고

교재 중심으로 진행했어요..

이사땜에 그리고 일이 많아 엄마가 수업 준비를 못했다하니

다음부터 잘 해 달라고 했어요^^;;

동영상과 교재를 함께 하니 더 재미있어 했구요...

다 아는 착시라고 생각했는데도 아이들이 참 신시해 했어요..

제가 수업 준비를 충실히 못해서 좀 아쉬웠지만

그래도 즐거운 수학이었어요,,,

수업 후 동영상 보면서 정리도 좀 하고 싶은데 가능할지...

다음에는 조금 더 준비를 해서 수업해야 할텐데..

주말에 시골에 가는군요,,슬퍼요,,,ㅠ.ㅠ

46번/초4/저스틴

저는 수업전 동영상 자료만 보여주고 아직 수업후 동영상 자료는 못보여줬어요

처음에 교재오자마자 바로 하고 싶다고 해서 말리는데 고생했어요

교재풀고 교구 만들어서 하는데 정말 좋아했어요

그리고 미술 교과서에 나오는 착시에 대한 것도 저스틴 스스로 찾아서

엄마에게 보여주고~

저스틴이 그냥 눈을 뜨고 보면 평행으로 안보이지만 눈을 가늘게 뜨고 보면 평행으로 보인다고 하네요 ㅎㅎ

그리고 길을 가다가 이발소에 보면 두줄로 돌아가는게 있는데 그것도 착시 아니냐고 묻더라구요~

마리스텔라님처럼 자세히 꼼꼼하게 하지는 못했지만 우선 아이가 하는 내내 즐거워했다는 점에

감사하고 있어요

엄마의 능력이 부족한것에 미안할 따름이더라구요 자꾸 하다보면 언젠가는 저도

다양한 방법으로 아이와 해볼수 있을거 같아요

다음에는 좀더 잘 해봐야겠어요 아직은 처음이여서 교재 위주로 했어요~

20번  초4  Rey 입니다.

교재를 갖고 있던터라  이미 했던 과제 였지만  마리스텔라님께서 알려주신 팁을 

많이 사용은 못하고  수업전  저학년보는  동영상들과   위키피디아에서  착시의

여러 그림들 보면서  교재에 있던 내용들  확인 했어요.

고학년 수업후 활동과 미처 다 하지 못한 활동들을  오늘 하려  합니다.

수직과 평행에 대한  5페이지 자료는 함께 읽고 이해하고  본인이 이해한 전체 내용

제게 그림 그려가며 세부적인 부분도 프리젠테이션 비슷하게  했어요.

말문이 막히는 부분은  힌트도 주구요.

주신 자료팁 만큼에 대한 노력이 부족했습니다.

다시금 정진 할께요.

여기에 고학년 연이어 다는 것 맞아요???

1번/David/4학년(11세)

(명단에 나이로 넣은 것은, 엑셀 화일로 혹시 신청 평균연령이라도 구하시고 싶으면 계산하시라고......ㅋㅋ)

저는 지난 번 올려주신 동영상 자료 보여주고,

마테 교재 한번 같이 보고,

삼각자 이용해서 평행선 그어보고,

템플 그랜딘에서 에임스룸 나오는 부분 함께 보는 것으로 '마.무.리.' 했습니다.

사진도 안 찍고, 뭔가 대단한 원리??? 설명도 못하고...

큰 아이가 연산이 느려서 수학에 대해 대단히 부담감을 갖고 있기 때문에

그렇게 어렵고 재미없는 것은 수학의 일부분일 뿐이고 이렇게

쉽고 재미있는 것이 사실은 수학이다~~~ 라는 것을 알려주는 것에 제 목표이기 때문에...

준비해주신 수고에 비해 저는 무척 엉성~ 하게 진행하고 있습니다;;;

아이들이 동영상 볼 때는 재미있어 하는데 교재 볼 때는 약간 지루해하길래

서둘러서 끝내고 포켓몬 카드 사러 나가는데, 아이들 옷에 모두 세로줄무늬가 있지 않겠어요??

얘들아, 너희들 옷에 줄 무늬가 있는데 왜 꼭 이 방향으로 있을까?? 하며 이야기하니

이야기 거리도 되고,

수업 후에 실생활에서 무언가 응용이 되니 별 것 아니지만 뿌듯하더군요 ㅋㅋㅋㅋ

정말 소박한 마음이지요?? ㅋㅋ

참, 그리고 템플 그랜딘에서는 에임즈 룸이 너무 신기했는데 실제 만들어보니

효과가 좀 덜 했어요. 그 원인이 아마도, 크기가 작은 것도 있겠지만

방 뒷쪽을 삐죽 나와있는 것을 미리 보고 들여다보니

착시현상이 나타나도 별로 신기하지가 않은 거예요. 크기가 작아 그리 드라마틱하지도 않구요.

템플 그랜딘에서는 검은 천으로 방을 가려놓고

아이들이 한번씩 돌아가면서 본 후에 나중에 검은 천을 치워

사실은 이렇게 생겼다는 것을 나중에 알게 되니 더 신기했던 것 같고요.

만들면서 진행하다보니 그런 단점이 있는 것 같습니다.

또, 에펠타워 동영상이 내용이 에펠 타워의 '평행' 중심이었는데

저는 파리에 고층 건물이 없어서 에펠타워가 더욱 높아보인다고 생각했거든요.

에펠타워 높아 보이라고 파리에는 고층 건물 건축을 허용하지 않나요???

그런 내용을 언급해주는 줄 알고 기다렸는데 그 내용이 없어서 아쉬웠습니다.

아이들이 무언가 얻고 공부하는 것도 좋은데 엄마가 얻는 것은 더 좋은 것 같습니다.

왜냐면 실생활에서 무한하게 대화거리를 찾을 수 있게 되니까요.

아이 좋아~~;;

넵. 이해 잘 못하고 어리버리하다가 깜빡했었거든요...

그리고 오늘 글 보고는 너무 죄송했답니다.^^;

지금 바로 검색해서 책 신청했어요.

책 오는데로 바로 해서 글 올릴께요~~~^^

참, 저는 네이버 검색 통해서 네이버 체크 아웃으로 구입했더니 할인이 조금 되더라구요.

가입시 1천원 할인해주는 싸이트도 있구요.^^

로잘리아님, 너무 잘하셨어요. ♡♡♡

제가 드리고 싶은 말씀에 미처 생각지못한 좋은 생각까지 담아 대문열어주셔서 감사드려요.

글구 혹시 미처 신청하지 못하신분들도 함께 진행기 올려주세요.

진행기는 가급적 오늘까지 올려주시면 좋겠지만

미처 준비못하셨다면 다음주 대문열기 전까지라도 올려주셔요.

자, 그럼 출발해 보지요.~~