사칙연산에 대한 생각 > 초등영어 게시판

시중의 각종 책들을 보면, 사칙 연산에 대해서 많은 방법적 이야기들을 하는 책들을 많이 보게 됩니다. 엄마가 얼마를 주었는데, 나중에 그 돈으로 얼마를 쓰고 어쩌고~~ 저쩌고... 이런 내용들의 연산 훈련법이 참 많은 것 같습니다. 아이들의 눈높이에 맞추기 위해서 정말 기발하고도 좋은 방법들을 수록해놓은 좋은 수학책이나 참고서, 문제집들이 넘쳐나는 세상입니다. 그럼에도 저는 우리 아이들과의 수학 공부에서 사칙연산에 대해서 공부할 때에 수많은 방법들을 모두 거부했습니다. 그리고 수학의 본질에 충실한 공부법을 시행하였습니다. 지금부터 그 이야기들을 써볼가 합니다.

이 글에서는 초등 3~4학년 이상을 대상으로 사칙연산에 대해서 이야기를 해보겠습니다. 또, 이 사칙 연산에 대해서 문제점을 갖고 있던 제 아이들과 어떻게 초등 연산 중에서 사칙연산을 해결했는지에 대해서 제 경험과 함께 사칙 연산에 대한 제 생각을 함께 적어보고자 합니다.

사칙 연산에 대해서 논하기에 앞서서 먼저 전체적인 수들의 개념에 대해서 먼저 이야기를 해보고 넘어가는 것이 어떨가 싶습니다. 인간이 제일 처음으로 발견한 수는 자연수입니다. 이 수로부터 시작해서 수가 점점 확장될 필요성을 느끼게 되었고, 그에 따라 수의 범위가 점차로 확대되어 왔는데요, 각 시대별로 수를 받아들이지 못한 경우도 참으로 많습니다. 피타고라스는 무리수를 받아들이지 못했고, 크로네커는 "정수 이외의 수는 모두 인간이 만든 수"라고 유리수 이상으로 확장된 수를 폄하했으며, 복소수를 정립하고 복소 평면을 발견한 가우스는 "무한"이라는 수의 계산은 논할 가치도 없는 것으로 여겼습니다. 그럼에도 지금은 무한까지 전부 계산하고 있는 수학체계를 가지고 있습니다. 어떻게 이럴수가 있었을가요? 그것은 이러한 반대들을 무릅쓰고 목숨까지 위태로워질 정도의 고통을 당하면서 수의 개념을 정립하고자 했던 위대한 수학자들이 있었기 때문입니다. 그리고 저는 이 수학자들로부터 그 정신을 이어받아 현재 초등 학생들에게 맞는 방법으로 바꿀 수 있음에 대해서 말해보고 싶습니다.

이런 역사적 사실들을 제가 이야기하는 이유는, 맨처음 수의 정립을 할때에 어떻게 수학자들은 접근을 했는가를 먼저 살펴볼 필요가 있다는 뜻입니다. 글의 후반부에 가면 왜 이러한 역사적 사실이 중요한가를 알 수 있을 것이라고 생각하며, 다소 지루하더라도 꼼꼼히 읽어주시기 바랍니다.

수를 정의하기에 앞서서 수학자들은 어떤 수의 종류에 대해서 가설(잠정적 정의정도라고 생각할 수도 있습니다.)을 세웁니다. 그리고는 제일 먼저 하는 것이 교환법칙, 결합법칙, 배분법칙등이 성립하는지 엄밀하게 따져 묻는 것입니다. 그런 다음으로 하는 것이 사칙 연산에 대한 어떤 규칙들이 있는지 조사하는 것입니다. 그런 후에 크기 비교가 가능한지의 여부를 따져보고 항등원과 역원이 존재하는지의 여부도 생각해봅니다. 그리고 나서 비로소 수에 대한 "정의"를 내리며, 그런 연후에 그 수들을 응용한 여러가지 범위들을 넓혀가는 것이 역사적으로 또 일반적으로 수학자들이 했던 수에 대한 접근 방법이었습니다. (물론 다 같은 순서는 아닙니다. 수마다 특성이 있기때문이며, 제가 제시한 글은 일반적인 수에 대한 접근차원에서 말씀드리는 것입니다.)

그럼 왜 수학자들의 접근법이 초등학교 사칙연산에서 중요하다고 저는 생각하고 있는지 말씀드리겠습니다. 초등학생들이라고 해도 초3~4년 정도면 이러한 접근법이 가능하다는 것이 저의 생각입니다. 거창하게 수학자라는 말을 들으니 초등수학과 절대로 거리가 멀다고 느낄 것 같지만, 실제로 알고보면 별것이 아닙니다. 새로운 개념을 만드는 것이 아니라 수학자들이 했던 순서대로 접근을 해보는 것입니다. 그리고 이러한 접근법만이 확실한 사칙 연산에 대한 개념을 잡아준다고 저는 믿고 있습니다.

이미 수학자들이 증명을 하여 참이라고 입증이 되었기에 초등생들도 편리하게 그것이 참이라는 전제하에 수학자들이 했던 순서들을 따라서 해볼 수 있습니다. 이것이 그 위대한 수학자들이 우리에게 준 너무나도 큰 선물인 것입니다. 수학자들이 했던대로 사칙 연산에 대해서 교환법칙, 결합법칙, 배분법칙등이 성립하는지 따져보는 것입니다. 방법은 간단합니다. 예를 들어서 해보면 됩니다.

1. 교환법칙, 결합법칙 해보기

교환법칙과 결합법칙이 성립하는지 몇개의 예를 들어서 해보면 자연수는 덧셈과 곱셈에 대해서 교환, 결합법칙이 성립됨을 알 수 있으며, 뺄셈과 나눗셈에 대해서는 교환법칙이 성립하지 않는다는 것을 금방 알 수 있습니다. 이걸 확실하게 경험적으로 아는것이 왜 중요한지 한가지 예를 들어보겠습니다.

예1)) 15+32-41+28

결합 법칙을 아는 아이는 15+32+28-41로 순서를 바꾸는 것으로 개념을 확장할 수 있다는 것을 알고 원래의 식을 이렇게 바꿉니다. 그리고는 덧셈끼리 교환법칙이 성립하기 때문에 32+28을 먼저하고 15를 더해도 상관없음을 알고 있습니다. 15+32보다는 32+28이 더 계산이 편리하기 때문에 이렇게 바꾸는 것입니다. 그럼 60+15를 하게 되는 것이고 그런후에 41을 빼는 것입니다. 결합법칙과 교환법칙이 성립됨을 모르는 아이는 이렇게 해도 된다는 것에 의심을 갖게 되며, 받아들이기를 거부하게 됩니다. 그래서 처음부터 더해가는 무식한 방법을 사용하게 되는 것이지요. 제가 맨처음 우리 아이들에게 받았던 인상이 바로 이것입니다. 학교에서 이런거 안배웠냐고 물으니 그런 것 배운적도 없고, 그렇게 어려운 것을 ( 말이 어려우니 아주 어렵다고 느끼는 것이죠.) 어떻게 자기가 알 수 있겠냐고 했습니다.

그렇다면 이 문제를 28-41+15+32로 바꾸면 어떻게 될가요? 28-41의 계산부터 마이너스가 나오고 정수로 범위가 확장되어 버리게 됩니다. 아이는 당황하게 되고 ( 정수를 모르니 당연하죠.) 말도 안되는 문제라고 생각하며 수학을 싫어하게 됩니다.

교환법칙이라는 것은 절대 어려운 것이 아니고, 더욱이 이것은 수의 개념을 잡는데에 있어서 가장 먼저 수학자들이 접근하듯이 아이들도 그렇게 접근해야 하는 것입니다. 그런데 문제는 이런 개념부터 정확하게 잡는것부터 하지 않고 암기하듯이 배우게 됩니다. 초등 저학년에서 단순한 수의 덧셈, 뺄셈을 직관적으로 연습하다보면 어느정도 덧셈, 뺄셈은 할줄 알게 됩니다. 이것을 알게되면 맨처음 시작해야 하는 것이 교환법칙등의 성립 여부를 예를 들어가면서 해보는 것입니다. 그래야 덧셈, 곱셈은 되고 뺄셈은 안된다는 것을 알게 되는 것이죠. 배분 법칙이 어렵다면 이것은 좀 나중에 해도 됩니다만, 최소한 교환법칙과 결합법칙은 반드시 개념을 심어줘야하며, 평균적인 초3 이상이라면 누구나 배울 수 있게 됩니다.

2. 정의 정확히 이해하고 외우기

다음으로 해야하는 것은 사칙 연산이 성립한다는 것을 알고 있으니, 정의를 정확하게 외우는 것입니다. 아이들이 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기의 정의를 정확하게 알고 있는지 확인해보시기 바랍니다. 제대로 말을 못할 겁니다.

더하기의 초등학교 수준에서의 정의는 "하면 할수록 양이 커지는 행위"정도이고 빼기는 " 하면 할수록 양이 작아지는 행위"입니다. 이 더하기 빼기의 정의가 뭐가 중요하냐고 반문하실 수도 있겠으나, 실제로 제 둘째가 저에게 물어봤던 질문을 보면 절대 가벼이 볼 문제가 아님을 알 수 있으실 겁니다.

그 녀석의 질문은 "아빠, 물방울 한개와 또 물방울 한개가 합쳐져도 결국 물방울 한개잖아. 그런데 왜 1+1=2 인거야? 1이 될수도 있는거잖아?"

이 질문에서 보듯이 아이들의 눈높이에서는 이런 생각을 얼마든지 할 수 있습니다. 그래서 더하기의 정의를 정확하게 설명(양이라는 용어에 대해서 예를 들어서 최대한 쉽게 설명해줬습니다.)해 주었더니 아~ 하고 이해를 했던 적이 있습니다. 이 예에서도 보듯이 아이들의 덧셈과 뺄셈은 겟수에 국한될 수 있는 위험성을 분명 갖고 있는 것입니다. 그래서 정의를 충실하게 이해를 시켜줘야 하는 것입니다.

곱하기의 정의는 "더하기를 여러번 하는 행위"라고 정의할 수 있습니다. 이 정의를 알면 계산을 쉽게 할 수 있는 방법들이 많이 생겨나게 됩니다. 여러번 쑥에 소개한 계산법이라서 다들 아시겠지만, 한번만 더 한다면 99*25를 계산한다면, 곱하기만 아는 아이는 이 문제를 백이면 백 전부 세로셈으로 곱합니다. 곱하기의 정의를 아는 아이에게는 약간의 수의 조작법을 가르쳐주면 곱하기의 정의에 따라서 쉽게 또 엄밀하게 계산을 합니다. 다음은 올바른 개념정립이 된 아이의 계산법입니다.

1) 99*25는 자연수이고 자연수는 곱셈의 교환법칙이 성립하니까 25*99로 바꾸어 써도 무방하다.

2) 곱하기에 정의에 의하면 25*99는 25를 99번 더하라는 말이다.

3) 25를 100번 더하고 다시 한번 빼주는 조작행위를 할 수 있다. ( 아이디어 )

4) 2500에서 25를 뺀다.

단계가 많은 것 같지만, 개념 정립이 확실하게 되면 이런 계산법을 순식간에 헤치우게 됩니다. 이 계산 과정에서 3번째 단계가 매우 중요합니다. 바로 이 단계에서 계산의 인위적인 조작 혹은 기타 수학 개념과의 접목을 통하여 계산의 속도 증진과 정확도를 높이는 두 마리의 토끼를 모두 잡을 수 있는 것입니다. 이것이 가능한 이유는 연산에 대해서도 수학의 본질적 접근을 했기에 가능한 일입니다.

나누기의 정의는 "어떤 수에서 다른 수를 몇번 뺄수 있다"가 정의입니다. 예를 들어서 15 나누기 3은 15에서 3을 다섯번 뺄 수 있다는 것이고, 그래서 답은 5가 되는 것입니다. 이게 뭐가 그렇게 중요하냐고 반문하실 수도 있겠지만, 초5부터 분수로 개념이 확장되면 그때는 문제가 다릅니다. 1 나누기 1/3은 얼마인지 계산하라고 하면 어떻게 설명하시겠습니까? 시중의 문제집들을 보면 별별 방법을 다 동원하여 이것을 이해시키려고 많은 지면 할애와 함께 많은 노력을 기울입니다. 그렇다면 정의에 의해서 어떻게 이 계산을 이해시킬가요? 먼저 그림을 그립니다. 그리고 삼등분 합니다. 그런 후에 묻습니다. "1에서 1/3을 몇번 뺄수 있지?" 아이들의 대답은 뻔합니다. "세번!!" 더불어 이 계산과정에서 1은 전체라는 개념으로도 쓰일 수 있음을 감으로 인지할 수 있게 되는 보너스를 얻을 수 있습니다. 이는 분수 계산의 응용 문제, 특히 일문제라고 불리는 문제를 풀어내는데에 힘을 보태어 주게 됩니다.

3. 수의 크기 비교하기

정의에 의하면 더하기를 할수록 커지는 것을 받아들일 수 있습니다. 또한 빼기를 할수록 작아지는 것을 알 수 있습니다. 1 나누기 1/3에서 보았듯이 분모가 1보다 작아지면 전체 분수는 수가 오히려 커진다는 것을 알 수 있고, 곱하기를 하는것이 더하기를 하는것보다 더 빠른 속도로 수의 크기가 커진다는 것도 알 수 있습니다.

4. 수학자들에게 감사의 마음을 가지며...

제가 위에서 말씀드렸던 것들을 정리해보자면, 사칙연산에서 가장 중요한 것은 교환법칙, 결합법칙이 성립하는지 여부부터 알아보는 것이고, 그런후에 각 연산의 정의에 충실하게 연산을 시키는 것입니다. 이것이 올바른 연산 교육이라고 저는 생각하고, 제 자식들도 저에게 이렇게 사칙연산을 배웠습니다. 내 아이는 사칙 연산을 다 안다고 생각하신다면 지금 아이들에게 사칙 연산의 정의들에 대해서 물어보세요. 정확하게 정의를 알고 있다면 그 아이들은 수학을 잘 배운 아이라고 보셔도 무방하지 않을가 싶습니다. 제가 말씀드린 이런 방법들이 모든 아이들에게 통용될 수는 없겠지만요, 이 방법은 가장 수학의 원리에 충실하면서도 가장 빠르게 사칙 연산을 이해하는 길이라고 생각합니다. 또 어려서부터의 이러한 습관은 중등부터 증명에 대한 확고한 생각이 추가되면서 "정의"의 중요성을 인식하고, 올바른 개념정립 후 문제풀이로 확인과정을 거치는 올바른 수학 공부 습관을 잡아줄 것이라고 생각합니다.

제가 이 글에서 가장 하고 싶은 말은요, 사칙 연산 뿐만이 아니라 어떤 개념들이라도 수학자들이 맨처음에 어떻게 어떤 방법으로 접근했는가부터 조사해보고, 그가 했던 과정들을 전부는 아니더라도 일부만이라도 순서만이라도 어설프게 따라만해도 개념에 다가설 수 있다는 점입니다. 그래서 수학사를 알면 수학 공부와 수학 지도에 큰 도움이 되는 것입니다. 이런 교훈을 저는 우리 아이들과의 수학 공부에서 얻고 또 검증할 수 있었습니다.

무한의 계산과 알레프의 세계를 발견한 칸토어는 무한도 셈을 할 수 있고, 크기 비교를 할 수 있다는 가설을 세우고 신의 영역이라고 간주되던 세상에 도전장을 내밉니다. 수많은 수학자들의 질시와 반대속에서 정신병원을 제 집 드나들면서 집합론을 정립한 그는 결국 쓸쓸히 죽어갔습니다. 그런 그의 인생에서 남긴 그의 명언 한마디가 이 글을 쓰다보니 문득 제 가슴을 파고듭니다.

" 수학의 본질은 사고의 자유에 있다 " ( 칸토어 )

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