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브죵님께서 제시하신 문제에 대해서, 초등의 사고력( 이걸 사고력이라고 하는지는 잘 모르겠습니다만, 마땅한 단어가 없어서 그냥 사용합니다.)으로 풀어보면서 교과 과정과의 연계성에 대해서 소개해볼가 합니다.

제시하신 문제입니다.

문제)) 구슬을 6개씩 나누어주면 15개가 남고, 10개씩 나누어주려면 33개가 모자랍니다.

학생수와 구슬의 갯수를 구하시오.

위의 문제는 일의 자리의 보수개념으로 문제를 풀 수 있다는 것을 먼저 말씀드리고 싶구요, 약간 노가다를 하게 되는데, 굳이 노가다를 시키는 이유는 이 글의 아랫부분에 가면 자연스럽게 이해가 될 것이니, 꼼꼼하게 읽으시면서 이해를 해보시기 바랍니다.

초등의 방법으로 풀어보도록 하겠습니다. 우선 문제를 재해석하는 것부터 해보죠.

10개씩 나누어주려면 33개가 모자라다는 말은 반대로 말하면 33개를 더해주면 10개씩 나누어줄 수 있다는 말이 됩니다. 아직 약수와 배수의 개념을 모르므로, 이런식으로 말을 해주고(약수와 배수를 안다면 10의 배수가 된다고 말해주면 되겠지요.) 하나씩 해봅니다.

1명에게 나누어줄 수 있는가? 답은 없다이죠. 왜냐하면 구슬 33개가 모자란다고 했으니까요. 따라서 최소 33개는 넘어야하니까, 40명부터 예를 들어줍니다. 학생이 4명이면, 40-33=7, 5명이면 50-33=17, 이런식으로 적어가면서 일의 자리의 숫자가 7이 됨을 주목합니다. 무조건 일의 자리는 7이라는 숫자가 나오게 된다는 것이죠.

이제 6개씩 나누어주면 15개가 남는다고 했으니까, 재해석을 해보자면 15개를 빼면 일의 자리 숫자가 2가 된다는 것입니다. 6에 곱해서 일의 자리 숫자가 2가 되도록 하는 수는 구구단의 6단을 외워보면 2와 7뿐이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 2, 7, 12, 17... 이런식으로 하나씩 다 해보면서 두개의 조건을 모두 만족하는 수를 찾아봅니다. 그럼 답은 12가 됩니다.

일의 자리 숫자를 응용한 문제를 하나 더 소개해 보겠습니다. ( 풀이법은 여러가지가 있겠지만, 굳이 일의 자리 숫자를 이용하여 꼭 풀어봐야 하는 이유가 있습니다.)

문)) 두개의 두 자리 자연수가 있습니다. 두 자연수의 합은 38이고, 곱은 345입니다. 두 자연수를 구하시오.

일의 자리 숫자에 주목하여 봅니다. 두 자연수의 곱의 일의 자리 숫자가 5입니다. 따라서 한 숫자는 무조건 5가 되는 것이지요. 곱에서 한 자연수의 일의 자리 숫자가 5임을 알았으므로, 이제 합을 봅니다. 일의 자리 숫자가 8입니다. 한 자연수의 일의 자리 숫자가 5이므로, 다른 한 수의 1의 자리 숫자는 3이 될 수 밖에 없습니다. 두 자리 자연수라고 했으므로, #5 * @3 = 345(#,@를 네모로 표시하고 풀어도 됩니다.)가 되지요. 여기서 백의 자리 숫자가 3이므로 두 십의 자리 숫자는 1과 2밖에 될 수 없고, 차례로 대입하여 해보면 답은 15와 23이 됩니다.

이제 다음문제를 보시기 바랍니다.

x^2 -38x + 345 를 인수분해 하시오.

이 문제와 위의 문제는 같은 문제입니다. 이제 초등학교에서 일의 자리 숫자가 왜 중요한지 이해가 되실 겁니다. 일의 자리 숫자에 대한 응용은 이것뿐만이 아닙니다. 규칙성을 찾는 문제에서도 응용이 됩니다.

문제2)) 7을 2010번 곱한 수의 일의 자리 숫자는 무엇인가?

7을 제곱하면 일의 자리 숫자는 9, 다시 7을 또 곱하면 일의 자리 숫자는 3, 다시 또 7을 곱하면 일의 자리 숫자는 1이고, 또 1을 곱하면 일의 자리 숫자는 7이 됩니다. 규칙성이 발견된 것이죠. 7,9,3,1로 4번의 제곱을 단위로 돌아가게 됩니다. 따라서 2010을 4로 나누어보면 나머지가 2가 되고, 답은 7,9,3,1의 두번째인 9가 되는 것이죠.

이 개념은 나중에 고등학교의 정수의 분류나 나머지 정리를 배울때에 수월하게 접근하는 개념으로 접근하게 됩니다. 고등학교 과정의 문제로 연결시켜 보죠. 다음은 숨마쿰라우데 고등 수학 (상) 142p에 나오는 문제입니다.

문제) 987654321 * 123456789 를 8로 나눈 나머지를 구하시오.

배수 판별법을 이용하여 8의 배수는 마지막 3자리가 8의 배수이므로, 321을 8로 나누면 나머지가 1이 됩니다. 다시 말해서 987654321 = 8* 몫 +1, 또 다른 수에서 마지막 3자리 수 789를 8로 나누면 나머지가 5입니다. 다시 말해서 123456789 = 8*몫 + 5의 형태가 되는 것이죠. 따라서 두 수의 곱을 8로 나눈 나머지는 5가 되는 것입니다.

결론적으로 일의 자리 숫자에 대한 감각과 훈련을 키우는 것은 이런식으로 중, 고등으로 계속 연결되게 되는 핵심적 역할을 하게 되는 것이죠. 전혀 쓸데없는 노가다가 아닌 것입니다. 일의 자리 숫자를 이용한 풀이가 좀 더 전문적으로 확장되면 홀짝성을 이용한 풀이 개념으로 연결될 수도 있지요. 홀짝성을 이용한 문제는 아주 어렵기 때문에 설명은 생략하겠습니다만, (저에게도 매우 어렵답니다. 흑~ ) 초등 수학에서 사고력적으로 노가다를 시키는데에는 다 이유가 있는 것입니다. 이걸 방정식의 개념으로 푼다면 연립으로 매우 쉽게 풀 수 있지만, 이것은 이 문제를 푸는데에 있어서는 선행을 통한 스킬이 되어버리는 것입니다. 그렇게 된다면 이 문제를 풀 이유가 없으며, 답안지에 적혀있는 풀이법은 문제에 대한 접근적 측면에서 사고력을 이용하는 것이기에 출제자의 의도가 이런 측면이 아닐가 합니다. 이런 의도도 좋은 것이겠지만, 제 생각에 이 문제는 일의 자리 숫자를 이용하여 풀기라는 측면에서도 충분히 가치가 있는 문제가 아닐가 합니다. 그래서 한가지 문제를 가지고도 여러가지 방법으로 풀어보려고 노력해보는 것이 매우 중요한 것입니다. 쉬운 문제를 가지고 여러가지 방법으로 풀어보는 훈련을 해보는 것은 아이에게도 큰 부담이나 무리가 될 것이라고는 생각하지 않구요.

제가 제 자식들과 초등학교 수학 공부를 할때에 이런 풀이법에 대해서 굉장히 요구를 많이 했습니다. 정작 방정식은 초6 과정을 들어가서야 가르쳤지요. 그 전까지는 일부러 이런 형태의 풀이법을 강조하고, 또 이렇게 풀었을 때에 크게 칭찬하였는데, 그것이 바탕이 되어 현재 수학 공부를 별 문제없이 진행할 수 있지 않았나 싶습니다.

브죵님과 아이에게 도움이 되기를 바랍니다.

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