리치흐름님 답글 > 초등영어 게시판

제 우문 (愚問)에대한 리치흐름님의 답글입니다.

저처럼 수학에대해 부족한 분들...

읽어보시면 도움이 될 것 같아서 답글로 뺍니다.

글 날리고 또 제 우문에 좋은 대답주신
리치흐름님 다시한번 감사드립니다.

더불어.. 목차만 올려주신 것도 붙여놓을테니..

시간 넉넉히 나실때... 한번 풀어주세요.

===============

1/2 곱하기 1/2 를 어떻게 설명할 것인가에대한 답글입니다.

=================

우선 분수는 나눗셈의 정의부터 알아야 합니다. 나눗셈의 뜻을 제대로 알려면 곱셈의 뜻부터 알아야하구요. 곱셈의 뜻은 어떤 수를 여러번 더하는 것입니다. 곱셈을 반대로 하는 것이 나눗셈이니 나눗셈의 정의는 어떤 수를 0이 될때까지 몇번 뺄수 있는가가 그 정의가 되겠습니다. 6 나누기 2 = 3입니다. 왜냐하면 6에서 2를 3번 뺄 수 있기 때문이죠.

이제 분수의 개념을 알아보겠습니다. 분수는 분모와 분자로 나누어진 a/b의 형태를 가지고 있고, 수학적으로 이런 표현이 가능한 수를 유리수라고 합니다. 분자와 분모에 대해서 정확한 개념을 가져야 분수의 개념을 잘 잡을 수 있는데, 예를 들어서 설명해보겠습니다.

위에서 배웠듯이 6 나누기 2 = 3 입니다. 이것을 나눗셈의 정의에 따라서 말로 풀어보면, 6에서 2를 3번 뺄수 있다는 뜻입니다. 여기서 나누어지는 수 6을 피제수라고 하고, 나누는 수 2를 제수라고 하며, 뺀 행위를 몇번 했는가를 뜻하는 3을 몫이라고 합니다.

분수는 나눗셈으로부터 나온 것입니다. 위의 설명에서 알 수 있듯이 피제수 = 분자입니다. 말로 쉽게 풀어쓰자면, 나누려고 하는 대상 전체를 말합니다. 제수 = 분모입니다. 한번에 전체에서 몇번을 뺄것인가라는 뜻이죠. 위의 문제를 이제 겟수의 개념에서 양의 개념으로 바꿔보도록 하겠습니다. 6/2는 6이라는 만큼의 전체를 두번 뺄 수 있는 크기를 6/2라고 쓰기로 약속한다는 뜻입니다.

예를 하나 들겠습니다.
"사과 5개를 두명이 공평하게 나누려고 한다. 얼마씩 가지면 되겠는가? "
짝수면 잘 나눠지겠으나, 홀수이므로 1개는 나누기가 곤혹스럽습니다. 이런 경우, 자연수로 표시할수가 없으니, 사람들이 이것을 표현하기 위해서 분수로 표기하기로 약속을 한것입니다.
2/7을 이런 의미에서 보면, 사과 두개를 7명이 나누어먹을 때 먹을 수 있는 크기를 의미하는 것이죠.
바꿔서 말하면, 7명이 1개의 사과의 2/7만큼을 먹으면, 7사람이 먹은 사과의 총량은 2개라는 뜻이기도 합니다. 이제 분수를 다음과 같이 의미적으로 이해할 수도 있습니다.

a/b : a(분자)에서 b번을 빼면(분모) 0이 되도록 하는 크기(분수)

이제 역수를 알아보겠습니다. 역수는 분모와 분자를 바꾼수입니다. 정사각형 종이를 하나 준비합니다. 이 정사각형으로 작은 정사각형 4개를 만들 수 있습니다. 큰 정사각형은 전체를 의미합니다. 분수에서 전체를 1로 놓는 경우가 많은 이유는 사실 단순한 이유 때문입니다. 계산하기 편리하기 때문입니다. 고대 이집트에서 단위분수를 사용한 이유도 같은 맥락입니다. ( 물론 2/3도 사용하긴 했지만 말입니다. 이 부분과 관련해서는 설명하자면 꽤 깁니다. 나중에 글로 말씀드리지요.)

각설하고, 분수의 정의에 의해 전체 1에서 4번을 뺄 수 있게 하는 크기는 1/4이라고 쓸 수 있습니다. 나눗셈의 정의로 표현하면, 1에서 1/4을 네번 뺄 수 있다는 뜻이죠.

좀 더 복잡한 것을 보겠습니다.

그럼 2에서 2/5을 몇번 뺄 수 있을가요? 먼저 두개의 큰 정사각형을 그립니다. 그리고 각각의 정사각형을 5등분 합니다. 그럼 총 10개의 작은 직사각형이 생기게 됩니다. 한개의 정사각형의 2/5만큼을 색칠합니다. 그리고 아이에게 물어보세요. "이 색칠한 부분만큼을 몇번 뺄 수 있지?" 그럼 답은 5번이 됩니다.

이제 정리를 좀 하겠습니다.
큰 정사각형(분자)에서 작은 정사각형을 4번 빼면(분모) 0이 되도록 하는 크기=1/4(분수의 정의)
1에서 1/4을 4번 뺄 수 있다. ( 나눗셈의 정의)
1/4을 네번 더하면 1이 된다. ( 역수 )
위의 3문장은 같은 뜻이므로 두번째 문장의 나누기 1/4은 곱하기 4로 바꿔도 무방함을 알 수 있습니다. 이렇듯이, 분수와 나눗셈의 정의, 곱셈의 정의로 구한 값이 서로 같습니다. 그래서 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있죠.

나누기 (분수) = 곱하기 (분수의 역수)

브죵님께서 문의하신 1/2 * 1/2는 나눗셈이 아니라 곱셈입니다. 1/2 나누기 1/2도 함께 설명하겠습니다.

1. 1/2 * 1/2
방법1)) 먼저, 곱하기의 정의를 다시 생각해봅니다. 1/2을 두번 더한다를 식으로 바꾸면 1/2 * 2가 됩니다. 그래서 답은 1이 되죠. 1/2를 한번 더하면 자기 자신이므로 1/2입니다. 1/2 *1/2는 1/2를 반번만 더하라는 뜻입니다. 그래서 답은 1/4가 되는 것이죠.

방법2)) 역수의 정의에 의해서 1/2 * 1/2 = 1/2 나누기 2가 됩니다.
다시 분수의 정의에 의해서 1/2에서 2번을 빼면 0이 되도록 하는 크기는 1/4입니다.

2. 1/2 나누기 1/2
위에서 배웠던 역수의 성질에 의해서 1/2 나누기 1/2 = 1/2 곱하기 2가 되고 따라서 답은 1이 됩니다.

사실 분수 개념은 설명하려면 굉장히 깁니다. 간단하게 설명하다보니 건너뛴 부분이 좀 있습니다만, 일단 대충이라도 개념을 잡고 설명하시는데에 큰 어려움은 없을것으로 생각됩니다. 또한 분수는 제가 위에 설명드린대로 굉장히 복잡한 개념을 갖고 있습니다. 또 분수에도 종류가 많습니다. 나중에 설명 드리겠지만, 가분수와 대분수는 그 값은 같지만, 분수를 사용하는 개념은 다릅니다. 이런 부분들을 조목조목 분류해서 설명해줘야하고, 또 그에 걸맞는 예시 문제들을 선별할 줄 알아야합니다. 그래서 분수를 제대로 가르친다는 것이 매우 어려운 것입니다. 상당히 추상적이기도 하구요.

아이가 브죵님 말씀대로의 반응을 보이는 이유는, 제 사견입니다만, 몇가지로 요약될 수 있습니다.
1. 나눗셈과 분수의 차이점에 대한 인식 부족
2. 분수에도 여러가지 종류가 있으며, 각각의 것이 나름대로의 의미를 지니고 있음.
예) 2와 1/2 = 5/2 , 처음것은 대분수, 나중것은 가분수이나 분수적으로 의미가 다름.
3. 뒤섞여 나오는 문제들을 분수의 분류에 따라 구분하고 접근하는 과정에서 혼란이 야기됨.

개념부터 제대로 잡는 것이 먼저일 듯 합니다