초등 분수 (3) > 초등영어 게시판

글이 늦었습니다. 현재 초3, 초4 학생들을 자녀로 두신 분들중엔 다음글을 기다리신 분들도 계셨을텐데, 저도 눈칫밥 먹고 사는 입장이라 이제서야 시간을 내어 써봅니다.

혹시라도 제 분수 관련글을 처음 읽으시는 분들께서는 가급적 제가 먼저 올렸던 분수 글들을 함께 읽어주시기 바랍니다. 다행스럽게도 찾기쉽도록 초등영어 best 스크랩에 올라와 있으니 찾기가 그리 어렵지는 않으실 겁니다.

저번 초등분수 (2)까지는 분수의 개념과 분수 연산에서 분수의 정의, 나눗셈의 정의, 곱셈의 정의등에 관해서 말씀드렸습니다. 분수의 사칙 연산에 들어가기에 앞서서 분수의 중요한 성질 몇가지를 알아보도록 하겠습니다.

분수는 분자와 분모가 구성원입니다. 분자와 분모의 변화에 따라서 분수의 크기가 어떻게 변하는지를 알아보는 것은 분수를 이해하는데에 매우 중요한 요소입니다. 다음 두개의 분수를 먼저 보겠습니다.

1/3 , 2/3

위의 두 분수는 분모는 같으나 분자가 다릅니다. 두 분수의 크기를 비교해보면 1/3 < 2/3 입니다. 그럼 한가지 질문을 하겠습니다. 왜 2/3가 더 큰지 설명하실 수 있습니까? 설명할 수 없다면 이전 분수 글들에서 분수의 정의부터 명확히 개념확인을 하시고, 다시 돌아와서 계속 읽으시길 권장합니다.

당연한 것을 왜 따지냐고 물으실수도 있겠습니다만, 수학은 가장 단순하고 기초적인 원리들로부터 시작하여 응용과 개념의 확장이 이루어지는 특성을 가지고 있기 때문에 가장 단순한 것부터 정확하게 아는것이 매우 중요합니다. 이 글에서도 밑으로 내려가면 얼핏 보기에는 눈앞이 아찔해보일 정도로 어려운 분수 문제가 나오게 됩니다. 그렇지만, 이렇게 어려운 분수 문제도 실은 가장 단순한 원리로부터 시작됨을 깨닫게 되실겁니다.

"수학은 정의로부터 시작하는 학문" 이고, 그래서 정의로부터 모든 것이 시작되기 때문에, 어찌보면 이 당연해 보이는 크기 비교를 왜 그렇게 되는지 정확히 아는 것은 생각보다 매우 중요하며, 수학 공부 습관을 잘 잡는데에도 기여를 하게 됩니다.

이런, 말하다 보니 삼천포로 빠져버렸군요. 다시 원래의 질문으로 돌아가서 왜 1/3 < 2/3 인지 이유를 설명해 보겠습니다. 이 부등식이 성립하는 이유는 분수의 정의로부터 추측할 수 있습니다.

분수의 정의 )) a/b : a(전체)에서 b횟수 만큼 빼면 0이 되도록 하는 크기

위의 정의에 의해서 2/3은 2에서 3번을 빼면 0이 되도록 하는 크기이고, 1/3은 1에서 3번을 빼면 0이 되도록 하는 크기입니다. 빼려는 횟수는 같은데, 전체는 2 > 1가 이므로, 2/3 > 1/3인 것입니다.

이제 반대로 해봅니다.

2/3, 2/4

마찬가지로 분수의 정의에 의해서 전체 크기는 2(분자)로 같습니다. 그런데 분모가 다릅니다. 분모는 빼려는 횟수입니다. 전체 크기가 같은데 2/3은 2에서 3번을 빼는 크기이고, 2/4는 2에서 4번을 빼는 크기입니다. 따라서 2/3 > 2/4 입니다.

이제 우리는 두가지 중요한 분수의 성질을 알게 되었습니다.

1. 분모가 같은 상태에서 분자가 커지면 분수 전체의 크기는 커진다.

2. 분자가 같은 상태에서 분모가 커지면 분수 전체의 크기는 작아진다.

이제 위의 두가지 성질을 합하여 한가지로 정리할 수 있습니다.

분수의 정리 1)) 분모가 커지면 분수의 크기는 작아지고, 분자가 커지면 분수의 크기는 커진다.

다시한번 말씀드리지만, 이런 원리를 외우도록 하지 마십쇼. 왜 이렇게 되는지 설명할 수 있으면 그뿐이며, 이렇게 되는 이유는 분수의 정의에 의해서 이렇게 된다라고 설명할 수 있으면 100점짜리 답입니다.

이제 한가지 의문점을 가져볼 수 있습니다. 지금까지는 분자나 분모를 고정시켜놓은 상태에서 분수의 크기 변화를 유도했는데, 만약 분자와 분모가 함께 변화한다면 전체 분수의 크기는 어떻게 되는가 하는 것입니다. 수학은 이런식으로 단순함에서부터 점점 더 복잡한 것으로 나아가는 것입니다. 그리고 이런 질문을 아이들에게 던짐으로서 아이들의 사고력이 증가하고, 수학의 재미에 빠져들 수 있는 것입니다.

이제 이 질문에 대한 답을 찾아보기 위해서 몇개의 준비물이 필요합니다. 다음은 준비물 목록입니다.

준비물 목록 : 가위, 스카치 테이프, 30*30 종이 여러장 ( 가로 30칸, 세로 30칸으로 되어있는 정사각형 )

좀 더 복잡한 것을 해결하기 위해서 우선 분모 분자가 함께 변하는 것중에 가장 간단한 형태가 무엇일까를 아이에게 생각하도록 합니다. 잠시 생각할 시간을 준 후에, 다음과 같이 분수들을 나열합니다.

1/2 , 2/3, 3/4, 4/5, ...

위의 분수 나열이 가장 간단한 것입니다. 다시 말씀드립니다. 수학은 단순함으로부터 조금씩 복잡해져가는 것을 보고, 어떤 현상이나 규칙을 찾아나가는 습관을 들이도록 해야 나중에 수학을 잘하게 됩니다.

위의 분수 나열들의 분모들은 2,3,4,5 입니다. 이제 준비물에 왜 정사각형의 한칸이 30인지 아셨을 겁니다. 바로 2,3,5의 최소 공배수이기 때문입니다. 아이들은 아직 최소 공배수를 모릅니다. 안다고 해도 굳이 설명할 필요는 없습니다. 그리고 초4에서 통분, 약분의 개념을 모르는 상태에서 이런 분수의 크기를 설명할 수 있는 방법은 많지 않습니다. 여기서는 최소 공배수 개념을 모른다는 전제하에 아이에게 이해시키는 방법을 설명하겠습니다. 아래부터는 30*30 정사각형을 그냥 정사각형이라고 하겠습니다.

첫번째 분수 1/2는 전체가 1입니다. 정사각형 한개입니다. 정사각형 한개에서 두번을 빼려면 절반으로 잘라야 합니다. 아이에게 어떻게 잘라야할지 물어보고, 아이가 직접 연필로 선을 긋고 가위로 자르도록 합니다. 그리고 잘린 부분에 1/2라고 크게 씁니다.

두번째 분수 2/3은 전체가 2입니다. 정사각형 두개를 스카치테이프로 붙입니다. 그리고 그 전체 크기에서 세번을 빼려면 어떻게 선을 그어야하는지 물어보고, 역시 아이가 직접 자르도록 합니다. 그리고 잘린 부분에 2/3이라고 크게 씁니다.

종이 낭비 같긴 하지만, 3/4, 4/5도 역시 같은 방법으로 합니다.

네 개의 분수 크기가 나왔습니다. 그러면 4/5를 맨 밑에 놓고 그 위로 3/4, 2/3, 1/2의 순서로 포개어 놓습니다. 그런후에 아이에게 물어봅니다. " 뭐가 가장 크니?" 시력에 문제가 있지 않다면 당연히 4/5가 가장 크다고 답할 것입니다. 그럼 여기서 그치지 말고 또 하나를 묻습니다. "우리가 이걸 한 원래 이유는 분자와 분모가 함께 변하면 분수 전체의 크기는 어떻게 되는가였어. 이제 이 실험을 통해서 뭘 알 수 있지? " 아이의 입에서 분모와 분자가 일정한 크기로 함께 커지면 전체 분수의 크기는 커진다라는 답변을 얻을 수 있다면 100% 이해를 한 것이고, 정답에 조금 모자라면 설명을 해주고 다음과 같은 분수의 정리를 가르쳐줍니다.

분수의 정리 2)) 분자와 분모가 같은 숫자만큼 더해져서 커지면 전체 분수의 크기는 커지고, 반대의 경우면 작아진다.

이제 문제를 하나 내어 아이의 응용력을 봅니다.

문제1)) 1/5와 5/9중에 어느것이 더 클가요?

위의 과정을 거쳐서 분수를 공부했다면 아이는 5/9가 더 크다는 것을 통분하지 않고도 쉽게 알 수 있습니다.

이제 좀 더 복잡하게 문제를 내어봅니다.

문제2)) 83/1532 와 6872/8321 중에 어느것이 더 클가요?

숫자는 복잡해졌지만, 아이는 원리를 알기 때문에 이 문제를 풀 수 있습니다. 분자는 83에서 6872로 6789만큼 커졌습니다. 역시 분모도 1532에서 6789만큼 커졌습니다. 분모와 분자가 같은 크기가 더해져서 커졌기 때문에 뒤의 것이 더 큽니다.

한 단계를 더 나아가서 응용해봅니다.

문제3)) 234/1234 와 844/1834 중에 어느것이 더 클가요?

이 문제는 분자의 정리1과 2를 모두 사용합니다. 234/1234에서 먼저 분모는 1234에서 1834로 600만큼 커졌습니다. 분자에도 600을 더해봅니다. 그러면 834가 나옵니다. 분수의 정리2 에 의해서 834/1834 > 234/1234 입니다. 그런데 우리가 비교하고자 하는 분수는 844/1834입니다. 여기서 분수의 정리1에 의하면, 분모는 고정인 상태에서 분자가 커지면 전체 분수의 크기는 커진다고 배웠습니다. 따라서 844/1834 > 834/1834입니다. 이제 다음과 같은 사실을 알 수 있습니다.

234/1234 < 834/1834 < 844/1834 = 234/1234 < 844/1834

이 문제를 보면서 무엇을 느끼셨습니까?

맨 처음부터 문제3을 아이에게 풀라고 하면 풀 수 있었겠습니까? 1/2 < 2/3 이라는 사실을 이미 알고 있다고 생각하지만, 왜 그렇게 되는지를 설명하지 못하는 약수와 배수를 배운 초5 학생에게 이 문제를 낸다면 그 학생의 머릿속에 통분외의 다른 방법을 생각할 수 있겠습니까? 아니면, 연산도 중요하니까 세자리수 * 네자리수도 연습시켜야한다는 명목으로 1234*1834를 하고, 23*1834도 하고, 1234*844를 해서 두 분수의 크기를 비교하실겁니까?

이제 이해가 되실겁니다. 수학에서 가장 기초적인것부터 정확하게 아는 것이 얼마나 중요하고, 응용과 심화가 깊게 들어갔을때에 어떤 막강한 힘을 발휘하는지를 말입니다. 그리고 가장 기초적인 것이 바로 정의라는 것도 이해하시리라고 생각합니다.

오늘 배운 것들을 정리해보도록 하겠습니다.

분수의 정리1)) 분자와 분모가 고정된 상태에서 분자가 커지면 전체 분수의 크기가 커지고, 반대의 경우라면 전체 분수의 크기는 작아진다.

분수의 정리2)) 분자와 분모에 같은 수를 더하면 커지고, 같은수를 빼면 작아진다.

지난번, 초등 분수 (2)에서 설명했던 부분들이 좀 어려웠나 봅니다. 이해도를 높이기 위해서 다음번에는 초등분수(2)에 대한 문제 예시와 추가 설명을 덧붙이고, 가분수와 대분수에 대해서 좀 더 알아보도록 하겠습니다.

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